Question

（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系

（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAF=∠DAE，

∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴AE=AF．（5分）

（2）CE=MF．（7分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，

∵△ABF≌△ADE，

∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，

∴∠MAF=∠EAC，

∴△AMF≌△ACE，

∴CE=MF．

（3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，

∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠AEB=∠AFD=90°，

∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF，

∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是正方形．

②如图4所示，

Answer 2

（1）AE=AF
证明：因为ABCD是正方形
所以AD=AB
角D=角ABC=角BAD=90度
因为角ABC+角ABF=90度
所以角ABF=90度
所以角ABF=角D=90度
因为角BAD=角BAE+角DAE=90度
因为AE垂直AF
所以角EAF=角BAE+角BAF=90度
所以角BAF=角BAE
所以直角三角形ABF和直角三角形ADE全等（ASA)
所以AE=AF
(2)CE=MF
(3)图呢？

Answer 3

（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．
分析：（1）根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性质即可解答；
（2）先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC，∠AMF=∠ACB=45°，再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE，再由SAS定理求出△AMF≌△ACE，即CE=MF；
（3）①画出示意图，只要求出△ABE≌△ADF，再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可；
②根据题意画出示意图即可，此时正方形的面积等于两块涂料面积的和．
解：
（1）
∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF．

（2）
CE=MF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，
∴∠MAF=∠EAC，
∴△AMF≌△ACE，
∴CE=MF．

（3）
①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是正方形．

Answer 4

解答：（1）
∵AF⊥AE
∴∠FAB+∠EAB=90°
正方形ABCD中：
∵∠DAE+∠EAB=90° 且AB=AD
∴∠FAB=∠DAE
∴Rt△AFB≌Rt△DAE
∴AE=AF
(2)
CE=FM（证法同上）
（3）①