Question

为什么∫e^(-x^2)dx=√π？

Answer 1

解题过程如下：

原式=∫e^(-x^2)dx

=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=∫∫e^(-r^2) rdrdα

=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)

=π*∫e^(-r^2) dr^2

=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝

=π

∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)

=(∫e^(-x^2)dx)^2

∴∫e^(-x^2)dx=√π

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分。

Answer 2

不定积分的结果一定是函数，你这个是从负无穷到正无穷的广义积分。其原函数不是初等函数，不能用普常解法，常用重积分来解，这是个典型积分，一般教科书都有，比如：同济大学编写的《高等数学》，第五版，下册89-90 页，例5；第六版下册147-148页，例5；第七版下册150-151页，例5。其它书也有，你找找看。

Answer 3

e^(-x^2) 原函数不是初等函数。
是广义积分（定积分）∫<-∞, +∞> e^(-x^2)dx = √π.