Question

已知函数f（x）=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且a＞1 （1）求函数f（x）的导函数

已知函数f（x）=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且a＞1
（1）求函数f（x）的导函数的最小值
（2）当a=3求函数的单调区间及极值。
（3）若对任意的x1 x2∈（0，+∞）且x1≠x2，函数h（x）满足[]h（x1）-h（x2）/x1-x2]＞-1，求实数a的取值范围
谢谢啦

Answer 1

解：（I）f′(x)=x-3+a-1 x =x+a-1 x -3，其中x＞0．
因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+a-1 x -3≥2 a-1 -3，
当且仅当x= a-1 时取等号，其最小值为2 a-1 -3．…（4分）
（2）当a=3时，h(x)=1 2 x2+2lnx-3x，h′(x)=x+2 x -3=(x-1)(x-2) x ．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：
x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
h′（x） + 0 - 0 +
h（x） 递增 -5 2 递减 2ln2-4 递增
所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1处取得极大值-5 2 ，在x=2处取得极小2ln2-4．
…．（10分）
（3）由题意h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨设x1＜x2，则h(x1)-h(x2) x1-x2 ＞-1得h（x1）+x1＜h（x2）+x2．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax+x，则函数F（x）在（0，+∞）单调递增．
F′(x)=x-(a-1)+a-1 x =x2-(a-1)x+a-1 x ≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x2-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因为G(0)=a-1＞0，a-1 2 ＞0，因此，只需△=（a-1）2-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求实数a的取值范围1＜a≤5 希望采纳