Question

求微分方程y''+y=x^2的通解。请描述详细点，谢谢

Answer 1

解：∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+r=0，则r=±i （i是虚数）
∴齐次方程y''+y=0的通解是y=C1sinx+C2cosx (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的一个解为y=Ax²+Bx+C
代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=x²
==>A=1,B=0,C=-1
∴原方程的一个解是=x²-1
故原方程的通解是y=C1sinx+C2cosx+x²-1 (C1,C2是积分常数)。

追问

你好，就是在求这种二次非齐次微分方程时，若右边为f(x)=关于x的n次方程和与e的μ次方之积，那么则有特解y*=x^k(A0x^m+.........)e^μx,在这里，那个k是怎么确定的呢？谢谢！！

追答

把y*=x^k(A0x^m+.........)e^μx代入原方程，比较等式两端同次幂系数才能确定k。