Question

解题思路，详细过程及答案，谢谢！

Answer 1

令x=1/2
f(1/2)+f(1-1/2)=1
2*f(1/2)=1
f(1/2)=1/2
f(x/5)=1/2f(x)
所以f(1/10)=f[(1/2)/5]=1/2*f(1/2)=1/4
f(1/50)=f[(1/10)/5]=1/2*f(1/10)=1/8
反复用几次
f(1/1250)=1/32

令x=1
f(1)+f(1-1)=1
f(1)=1-f(0)=1
f(x/5)=1/2f(x)
f(1/5)=1/2*f(1)=1/2
f(1/25)=f[(1/5)/5]=1/2*f(1/5)=1/4
反复用几次
f(1/3125)=1/32

因为0<1/3125<1/2011<1/1250<1
f(1/3125)=f(1/1250)=1/32
所以f(1/2011)=1/32

追问

前面都明白，就是最后两行
及f(1/3125)=f(1/1250)=1/32且函数在（0,1）上是单调增函数
得f(1/2011)=1/32 是怎么回事
为什么算到1/3125和1/1250就可以得出答案了？谢谢

追答

因为3125和1250分别在2011两边
分母是10 50 250 1250 再来就是6250了 不需要了
分母是5 25 125 625 3125 再来就是15625 也不用了

因为题目中有想0<x1<x2<1 f(x1)≤f(x2) 当x1=1/3125 x2=1/1250 两式相等 且是单调函数
所以当x=1/2011时也是这个值 否则不满足单调函数

Answer 2

解
f(x)+f(1-x)=1中取x=0,得 f(1)=1
取x=1/2得 f(1/2)=1/2
由f(x/5)=(1/2)f(x)得f(1/5)=(1/2)f(1)=1/2
f(1/25)=(1/2)f(1/5)=1/4
f(1/125)=(1/2)f(1/5)=1/8
f(1/625)=(1/2)f(1/125)=1/16
f(1/3125)=(1/2)f(1/625)=1/32
由f(x/5)=(1/2)f(x)得 f(1/10)=(1/2)f(1/2)=1/4
f(1/50)=(1/2)f(1/10)=1/8，
f(1/250)=(1/2)f(50)=1/16，
f(1/1250)=(1/2)f(250)=1/32，
由f(1/3125)≤f(1/2011)≤f(1/1250)
及f(1/3125)=f(1/1250)=1/32且函数在（0,1）上是单调增函数
得f(1/2011)=1/32

追问

前面都明白，就是最后两行
及f(1/3125)=f(1/1250)=1/32且函数在（0,1）上是单调增函数
得f(1/2011)=1/32 是怎么回事
为什么算到1/3125和1/1250就可以得出答案了？谢谢

追答

请看f(1/3125)≤f(1/2011)≤f(1/1250) , 1/2011夹在1/3125和1/1250之间根据题意有0<=x1<x2<=1,
f(x1)<=f(x2),即f(x)在区间(0,1)递增 ∴1/32=f(1/3125)<=f(1/2011)<=f(1/1250)=1/32
∴f(1/2011)=1/32

Answer 3

f(0)=1/2f(0)=0
f(1)+f(0)=1
f(1)=1
f(1/5)=1/2f(1)=1/2,同理
f(1/25)=1/4.....
根据0~1的条件可以知道f(1/2~1)=1/2同理
1/3125<1/2011<1/625 3125=5^5
得到f(1/2011)=1/32