Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1（-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1（-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P（异于实轴的端点），使得csin角PF1F2=asin角PF2F1，则双曲线离心率的取值范围是多少？要有解析的！！急

Answer 1

不妨设点P在双曲线右支上
由正弦定理，因csin角PF1F2=asin角PF2F1得
c|PF2|=a|PF1|
所以c/a=|PF1|/|PF2|=(2a+|PF2|)/|PF2|=(2a)/|PF2|+1
又点P（异于实轴的端点
所以|PF2|>c-a
所以c/a<2a/(c-a)+1即
e<2/（e-1)+1
解得1-√2<e<1+√2
又e>1
所以1<e<1+√2

追问

谢谢