Question

丨丨X丨-丨Y丨丨=<丨X-Y丨 证明过程

Answer 1

证明如下：
﹣|X|≤X≤|X| ......①
﹣|Y|≤Y≤|Y| ......② 　
①+②得：﹣﹙|X|+|Y|）≤X+Y≤|X|+|Y| ……③　
即 |X+Y|≤|X|+|Y| （当且仅当XY≥0时，不等式等号成立）
由③可得|X|=|(X-Y)+Y|≤|X-Y|+|Y|即 |X|-|Y|≤|X-Y|　
同理可得：|Y|=|(Y-X)+X|≤|Y-X|+|X|即 |Y|-|X|≤|Y-X|=|X-Y|
整理得：±﹙|X|-|Y|）≤ |X-Y|
即：丨|X|-|Y|丨≤ |X-Y|

追问

第三步之后就看不懂了。。。。。

Answer 2

分四种情况：
1.x和y都大于0，丨丨X丨-丨Y丨丨=丨X-Y丨=<丨X-Y丨
2.x和y都小于0，丨丨X丨-丨Y丨丨=丨-X+Y丨=丨X-Y丨=<丨X-Y丨
3.x大于0，y小于0，丨丨X丨-丨Y丨丨=丨X+Y丨=<丨X-Y丨
4.x小于0，y大于0，丨丨X丨-丨Y丨丨=丨-X-Y丨=丨X+Y丨=<丨X-Y丨
得证

Answer 3

因为两边都是非负数，所以两边平方以下，倒着推导，可以发现最后变成了
|x| * |y| >= xy，
这个明显成立的