Question

（请回答的道友详解）关于二次函数的一道题！抛物线y=-x²+bx+3与x轴交与AB两点，与y轴交与C点

抛物线y=-x²+bx+3与x轴交与AB两点，与y轴交与C点，其中点A（-1，0）。过点A作直线y=x+c与抛物线交与D点，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒√2个单位长度向D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交与点Q，设运动时间为t（s）。
（1）写出b，c的值及点D的坐标
（2）当t=2时，求线段PQ长
（3）计算说明：t为何值时，线段PQ最长，最大值是多少
（4）t为何值时，直线PQ把△ABC的面积分成1:3的两部分？
详细解答

Answer 1

（1）抛物线过点A，将A点坐标带入抛物线方程，得出b=2，抛物线方程为y=-x²+2x+3。
抛物线与y轴交与C点。令抛物线方程中x=0，得出c=y=3，C点坐标为（0,3）
直线y=x+c过A点，将A点坐标带入直线方程，得出c=1，直线方程为y=x+1，D点为抛物线与该直线方程的交点，将两方程作为方程组解出D点坐标为（2,3）
（2）当t=2时，点P的运动路程为2√2，即线段AP的长度为2√2，（AP的长度）²=（点P的横坐标-点A的横坐标）²+（点P的纵坐标-点A的纵坐标）²，即（2√2）²=（点P的横坐标+1）²+（点P的纵坐标-0）²，点P在直线y=x+1上，联立得出P（1,2），则Q（1,4），则线段PQ长度为2
（3）令P的坐标为（xp，yp），D的坐标为（xd，yd），点D与点P横坐标相同，即xp=xd，线段PQ的长度为yq-yd，点Q在抛物线上有yq=-(xq)²+2xq+3，D点在直线上有yd=xd+1，则yq-yd=-(xq)²+2xq+3-（xd+1）=-(xq)²+xq+2，问题简化为求该抛物线的最大值问题，yq-yd=-（xp-1/2)²+9/4，当xp=1/2时线段PQ最长为9/4，P点坐标为（1/2,3/2）同时可求得线段AP的长度为3√2/2，则t=3/2，即当t=3/2时，PQ最大值为9/4。先回家等会再解答最后一问

Answer 2

(1) b=4,C=1,D(-2,-1)