Question

已知数列{an}中,a1=5,an=2a(n-1)+2^n-1 (n∈N*且n≥2） （1）若数列{(an+λ)/2^n}为等差数列，求实数λ的值

（2）求数列{an}的前n项和Sn。

Answer 1

解：
(1)
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ=a(n-1)/2^(n-1) +1/2
an/2ⁿ -a(n-1)/2^(n-1)=1/2，为定值。
a1/2^1=5/2
数列{an/2ⁿ}是以5/2为首项，1/2为公差的等差数列。
(an+λ)/2ⁿ=an/2ⁿ +λ/2ⁿ
要{(an+λ)/2ⁿ}为等差数列，则
[a(n+1)+λ]/2^(n+1)-(an+λ)/2ⁿ为定值。
[a(n+1)+λ]/2^(n+1)-(an+λ)/2ⁿ
=[a(n+1)/2^(n+1)-an/2ⁿ]+λ[1/2^(n+1)-1/2ⁿ]
=1/2 -λ/2^(n+1)
1/2为常数，2^(n+1)随n改变而改变，要数列{(an+λ)/2ⁿ}为等差数列，则只有λ=0
(2)
an/2ⁿ=5/2 +(1/2)(n-1)=(n+4)/2
an=(n+4)×2ⁿ/2=(n+4)×2^(n-1)
n=1时，a1=(1+4)×2^0=5，同样满足
数列{an}的通项公式为an=(n+4)×2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an
=[1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)]+4[2^0+2^1+...+2^(n-1)]
令Cn=1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)
则2Cn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Cn-2Cn=-Cn=2^0+2^1+...+2^(n-1)-n×2ⁿ
=(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2ⁿ
=2ⁿ-1-n×2ⁿ
=(1-n)×2ⁿ-1
Cn=(n-1)×2ⁿ+1
Sn=Cn+4(2ⁿ-1)/(2-1)
=(n-1)×2ⁿ+1+4×2ⁿ-4
=(n+3)×2ⁿ-3

追问

an=2a(n-1)+2^n-1 不是2^（n-1）是2^n -1

Answer 2

2ⁿ-1情况下的正解：n≥2时，an=2a(n-1)+2ⁿ-1
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ=a(n-1)/2^(n-1) +1 -1/2ⁿ
an/2ⁿ-a(n-1)/2^(n-1)=1 -1/2ⁿ
a(n-1)/2^(n-1) -a(n-2)/a^(n-2)=1-1/2^(n-1)
…………
a2/2²-a1/2=1- 1/2²
累加
an/2ⁿ -a1/2=(n-1) -(1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ)
=(n-1)-(1/4)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=n-3/2+1/2ⁿ
an/2ⁿ=a1/2 +n-3/2+ 1/2ⁿ=5/2 +n-3/2 +1/2ⁿ=n+1 +1/2ⁿ
an=(n+1)2ⁿ +1
n=1时，a1=2×2+1=5，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=(n+1)2ⁿ +1
前n项和Sn=a1+a2+...+an=[2×2+3×2²+4×2³+...+(n+1)×2ⁿ]+n
令Cn=2×2+3×2²+4×2³+...+(n+1)×2ⁿ
则2Cn=2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ+(n+1)×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=4+2²+2³+...+2ⁿ-(n+1)×2^(n+1)
=1+2+2²+2³+...+2ⁿ-(n+1)×2^(n+1) +1
=1×[2^(n+1) -1]/(2-1) -(n+1)×2^(n+1) +1
=-n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1)
Sn=Cn +n=n×2^(n+1) +n