Question

函数f(x)=x²-2ax 3a²-a 1在区间[0，1]上有最小值4，求a的值

谢谢！

Answer 1

f(x)=x²-2ax+3a²-a+1
=(x-a)²+2a²-a+1
开口向上，对称轴x=a，
且x∈[0，1]

①a>1时，
对称轴位于区间右侧，
此时f(x)单调递减，
∴f(x)|min=f(1)=3a²-3a+2.
∴3a²-3a+2=4，
解得，a=(3+√33)/6，
另一根小于1，舍.

②0≤a≤1时，
对称轴在区间内，
最小值在图象最低点即顶点取得，
∴f(x)|min=f(a)=2a²-a+1，
∴2a²-a+1=4
解得，a=3/2或a=-1，
都与0≤a≤1矛盾，舍.

③a<0时，对称轴位于区间左侧，
此时f(x)单调递增，
∴f(x)|min=f(0)=3a²-a+1
∴3a²-a+1=4
解得，
a=(1-√37)/6，
或a=(1+√37)/6(与a<0矛盾，舍)。