Question

线性代数证明题（急）

有矩阵A(m*n), B(t*l), C(m*l)
已知R(A)=m, R(B)=l , R(C)=k.
求证：一存在X使
AXB=C, 且R(X)=K;
二这样的X唯一吗？请详细说明理由。
求证：1.存在X使
AXB=C,且R(X)=K;
2.这样的X唯一吗？
请逐个证明。

Answer 1

AXB＝C
因为A行满秩，根据矩阵方程解空间特点，
Ay = C的有解，
令A=P(A1,A2)，其中P为可逆行变换矩阵，A1是mxm满秩矩阵，
则Ay=C = P(A1,A2)y =P(A1, A2)(y1, y2)',
其中y1为1xm矩阵，y2为(1x(n-m))矩阵，令y2为任意向量v1，则
A1 y1' + A2 y2' = P^(-1) C
y1' = A1^(-1) [P^(-1) C - A2 v1')

考虑XB= y
同理，由于B列满秩，解也存在，对B进行上下分块，且令B1为lxl方阵，则
(x1, x2) (B1,B2)'Q =y,
如果x2是任意向量，则x1 = [yQ^(-1) - x2B2) B1^(-1)
显然，这个解有两个自由向量x2和y2，所以解不唯一

Answer 2

R(Am,n)=m=R(Am,n,Cml)
A[XB]=C有解,则XB=D （D不一定唯一）
R(B^T)=R(B^T,D^T)=n,
XB=D有解，X=F（F不一定唯一）