Question

a已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^n-1+2

1.令bn=2^nan.求证数列{bn}是等差数列,an的通项公式
2.令Cn=(n+1)/n*an,Tn=c1+c2+c3+c4+....+cn,试比较Tn与5n/(2n+1)的大小,并予以证明

Answer 1

1.
证：
n=1时，S1=a1=-a1-(1/2)^0+2=-a1+1
2a1=1
a1=1/2
n≥2时，
Sn=-an-(1/2)^(n-1) +2 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
Sn-S(n-1)=-an-(1/2)^(n-1)+2+a(n-1)+(1/2)^(n-2)-2=-an+a(n-1)-1/2^(n-2)
2an=a(n-1)-1/2^(n-2)
等式两边同乘以2^(n-1)
an×2ⁿ=a(n-1)×2^(n-1) -2
an×2ⁿ-a(n-1)×2^(n-1)=-2，为定值。
bn=an×2ⁿ
bn-b(n-1)=-2，为定值。
b1=a1×2=(1/2)×2=1
数列{bn}是以1为首项，-2为公差的等差数列。
an×2ⁿ=bn=1+(-2)(n-1)=-2n+3
an=(3-2n)/2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(3-2n)/2ⁿ
2.
题目写得太不清楚，是cn=[(n+1)/n]×an，还是cn=(n+1)/[n×an]，请写清楚，再来回答。

追问

是cn=[(n+1)/n]×an
算出来第一问是an=(2n-1)/2^n ，并且bn=2n-1

Answer 2

1,,,,因为Sn=-an-(1/2)^n-1+2<1>所以Sn-1=-an-1-(1/2)^n-2+2<2>
<1>-<2>得an=an+an-1-(1/2)^n-1+(1/2)^n-2
所以an=-1/2^n然后再求bn也可以
2...Cn=(n+1)/n*an中的 * 是什么东西????乘还是乘方?

追问

cn=[(n+1)/n]×an 肯定是乘撒

Answer 3

Sn=-an-½ⁿˉ¹+2
Sn-₁=-an-₁-½ⁿˉ²+2
2an-an-₁=-½ⁿˉ²
2ⁿˉ¹an-2ⁿˉ²an-₁=-1
bn-bn-₁=2ⁿan-2ⁿˉ¹an-₁=-2
{bn}为等差数列