Question

高等数学，关于介值定理的推论 同济版上册72页，如图，M,m之间的任何值是否包括M与m本身？

Answer 1

一般应该是不包括，因为包括了没意思。
介值定理的推论表示这两个值之间的任何数，都必然会有某个x值的函数值取到。而M和m是函数在这段区间的最大值和最小值，不用证明就已经知道必然会有某个x值的函数值与之对应了。因为如果这个区间没有任何x值的函数值等于M，那么M怎么可能会是这个函数在这个区间的最大值呢？m也是同理。所以M和m是无需证明就已经知道必然会有x的函数值取到这两个数。所以需要证明的是大于m且小于M的那些数。

追问

嗯，重新看了编介值定理的证明，应该不包括

Answer 2

包含，介值定理推论证明解释如下：
假设条件：
f(x1)=min，f(x2) =Max，且min≠Max 成立
根据假设条件，在闭区间[x1,x2]上运用介值定理：
设函数在闭区间[x1,x2]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(x1)=min，f(x2)=Max，则对于min与Max之间的任意一个数C，在开区间(x1,x2)至少有一点x，使得f(x)=c(x1＜x＜x2).
根据介值定理f(x)可取区间(min,max)内一切值，以及假设条件成立时当x=x1时，f(x)=min，当x=x2时，f(x)=Max，所以可得f(x)的值域为[min,Max]，已知假设条件成立时min与Max分别为f(x)在[x1,x2]上的最大值和最小值.
[x2,x1]同，可得推论.

Answer 3

介值定理不包括端点值，因为定理的条件是C介于最大最小值之间，所以ε也只能位于区间内（开区间）
介值定理的推论（可以理解为升级版的介值定理），条件是C可以取端点值，即m≤C≤M，因此ε也位于相应闭区间。
因此，积分中值定理只能用 介值定理的推论 证。

Answer 4

当然包括

追问

应该不包括，你看下介值定理的证明就知道了

不过还是谢谢你

追答

想太多，包括就行了

追问

如果包括，介值定理就无法使用零点定理推出

φ(a), φ(b)异号满足不了啊

不过这样以后，积分中值定理证明又出问题了o(︶︿︶)o

你是对的，我想明白了

谢谢