设数列{Xn}有界,又limYn=0,证明：limXnYn=0
证明：
∵数列{Xn}有界，因此：
∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：
|Yn- 0| < ε'成立
即：|Yn|< ε'
显然：
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M，则：
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有：
lim(n→∞) XnYn =0
扩展资料：
数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
倒序相加法推导前n项和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2。
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
∵数列{Xn}有界，因此：
∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：
|Yn- 0| < ε'成立
即：|Yn|< ε'
显然：
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M，则：
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有：
lim(n→∞) XnYn =0
同济高等数学上册第一章第一节习题详解:设数列IxnI有界，又lim(n->oo)yn=0,证明lim(n->oo)xnyn=0
利用数列极限定义
详情如图所示，有任何疑惑，欢迎追问
