Question

一道极限的题目？

求解

Answer 1

f(x)

=∫(0->(sinx)^2) ln(1+t) dt / [e^(2x^2)-2e^(x^2) +1]         ; x≠0

=a                                                                                          ; x=0

x->0

分母

e^(2x^2) =1 +2x^2 +(1/2)(2x^2)^2 +o(x^4)=1 +2x^2 +2x^4 +o(x^4)

2e^(x^2) =2 +2x^2 +x^4 +o(x^4)

e^(2x^2)-2e^(x^2) +1 =x^4 +o(x^4)

分子

(sinx)^2 = x^2 +o(x^2)

∫(0->(sinx)^2) ln(1+t) dt 

~∫(0->(sinx)^2) t dt

~∫(0->x^2) t dt

=(1/2)x^4 

lim(x->0) ∫(0->(sinx)^2) ln(1+t) dt / [e^(2x^2)-2e^(x^2) +1]

=lim(x->0) (1/2)x^4 / x^4

=1/2

=>

a=1/2

Answer 2

灵活运用洛必达法则、等价无穷小代换