Question

在数列{an},设S1=a1+a2+....+an,S2=an+1 +an+2 +....+a2n .S3=a2n+1 +a2n+2 +.....+a3n，S1，S2，S3的关系

{an}是等差数列，设公差为d。
S1=a1+a2+...+an=na1+n(n-1)d/2
S2=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n)=na(n+1)+n(n-1)d/2=n(a1+nd)+n(n-1)d/2
S3=a(2n+1)+a(2n+2)+...+a(3n)=na(2n+1)+n(n-1)d/2=n(a1+2nd)+n(n-1)d/2

S2=n(a1+nd)+n(n-1)d/2和S3=n(a1+2nd)+n(n-1)d/2是怎么来的？

Answer 1

等差数列通项公式：an=(n-1)d
则a(n+1)=a1+nd、a(2n+1)=a1+2nd
S2=na(n+1)+n(n-1)d/2=n(an+nd)+n(n-1)d/2
S3=na(2n+1)+n(n-1)d/2=n(an+2nd)+n(n-1)d/2

追问

an=a1+（n-1）d

追答

打字有误，是an=a1+(n-1)d

追问

没事、
那我觉得是S2=（n+1）（a1+nd）+2n（n-1）d/2

追答

不能用n+1
S2=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n)是等差数列的n项之和，项数要用n

Answer 2

都是跟S1一样的算法，既然不明白就从基础说起。
an=a1+(n-1)*d
S1=(a1+an)*n/2=[a1+a1+(n-1)*d]*n/2=n*a1+n(n-1)*d/2
S2=(an+1 + a2n)*n/2=[a1+n*d + a1+(2n-1)d]*n/2=na1+n(3n-1)d/2=n(a1+nd)+n(n-1)d/2
S2其实还是n项等差数列相加，首项是an+1，尾项是a2n，按公式代入化简就OK了。
S3同。