Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a不等于0)满足条件:f(-1-x)=f(-1+x)且方程f(x)=x有等根

（1）求f(x)的解析式
（2）设函数g(x)=【f(x)-m】*e^x,若g(x)在【-3,2】上单调，求实数m的取值范围

Answer 1

解：
1)
由f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-(1/2)x^2+x;
2)分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-4 n=0

Answer 2

对称轴为x=-1，∴-b/2a=-1，∴b=2a
∴f(x)=ax²+2ax
方程f(x)=x就是：ax²+2ax=x有二个等根，∴△=0，即(2a-1)²=0，∴a=1/2
∴f(x)=1/2x²+x