Question

如图，三角形ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，1.AD平分∠BAC，2.DE⊥AB，DF⊥AC，3.AD⊥EF，以此三个中的两

三角形ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即①②→③，①③→②，②③→①。证明正确的命题，不正确的举出反例

Answer 1

①②⇒③，正确；①③⇒②，错误
(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
(2)∵∠DAE＝∠DAF、AD⊥EF，∴EG＝FG，∴AD是EF的垂直平分线。
显然，将EF进行平移，只要确保EF⊥AD且被AD平分，都有∠DAE＝∠DAF。
这样一来，就无法确保DE⊥AB、DF⊥AC。
∴这个命题是不能成立的。

Answer 2

①②⇒③，正确；①③⇒②，错误，不符合三角形的判定；②③⇒①，正确．
(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
(2)∵∠DAE＝∠DAF、AD⊥EF，∴EG＝FG，∴AD是EF的垂直平分线。
显然，将EF进行平移，只要确保EF⊥AD且被AD平分，都有∠DAE＝∠DAF。
这样一来，就无法确保DE⊥AB、DF⊥AC。
∴这个命题是不能成立的。
(3)设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE=1/2AD，OF=1/2AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，1/2AD为半径的圆上，AD是直径
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF．
即AD平分∠BAC．