Question

平面Ax+By+Cz+D=0平行x轴为什么等价于A=0？

Answer 1

平面Ax + By + Cz + D = 0与x轴平行，意味着该平面的法向量垂直于x轴。假设(x, y, z)是平面上的任意一点，则有：
Ax + By + Cz + D = 0
对其求偏导数可得：
A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0
其中，(dx/dt)是x关于某个参数t的导数，它可以表示为1（因为我们假设平面与x轴平行）。因此，上式简化为：
A + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0
这里(dy/dt)和(dz/dt)是有限的实数（因为它们是函数y=f(t)和z=g(t)的导数），所以我们可以将它们看作常数。因此，上式可以重写为：
A + Bm + Cn = 0
其中，m=dy/dt和n=dz/dt。
注意到这是一个线性方程式，其中A、B和C是系数，m和n是变量。如果A不等于零，则我们可以解出m和n，并且可以发现，平面的法向量不垂直于x轴。只有当A等于零时，方程式才有解，此时平面的法向量垂直于x轴。因此，A=0是平面Ax+By+Cz+D=0与x轴平行的充分必要条件。