Question

已知函数f(x)是定义在(-∞,3)上的减函数

已知函数f(x)是定义在(-∞,3)上的减函数,已知f(a²-sinx)≤f(a+1+cos²x)对x∈R恒成立，求a的取值范围

我是高二，文科的，希望是我能看懂的方法，谢谢啦！！！！！！

Answer 1

f(x)是减函数，定义在(-∞,3)，所以有以下几个不等式同时对x∈R恒成立：
a²-sinx < 3 ... (1)
a+1+cos²x<3 ... (2)
a²-sinx>=a+1+cos²x ... (3)

由式(1)知 a²-3 < sinx 对x∈R恒成立，而-1<=sinx<=1，所以a²-3<-1，得a²<2，得 -根号2<a<根号2
由式(2)知a-2< -cos²x，而-1<= -cos²x <= 0，所以a-2<-1，所以a<1。
同式(3)知a²-a-1>=sinx + cos²x，将右边变换一下，sinx + cos²x=sinx+(1-sin²x)= -(sinx - 1/2)²+5/4,左侧变换一下得(a-1/2)²-5/4，所以(a-1/2)²>= -(sinx - 1/2)² + 10/4 >= 9/4。得a-1/2>=3/2或<=-3/2，即a>=2或<=-1

综上 -根号2 < a <= -1

Answer 2

因为 f(a²-sinx)≤f(a+1+cos²x) 并且函数单调减
所以3＞a²-sinx≥a+1+cos²x
由3＞a²-sinx 得a²<3+sinx 因为此式恒成立的，所以a²要比右边的最小值还要小才能保证恒成立
也就是a²<3+（-1）=2 所以-√2＜a＜√2 (*)
又因为 a²-sinx≥a+1+cos²x==>a²-a≥1+cos²x+sinx=2-sin²x+sin= - (sin²x-sinx+1/4-1/4)+2即
a²-a≥ - (sin²x-sinx+1/4-1/4)+2
a²-a≥ - (sinx-1/2)^2+9/4 因为是恒成立，所以左边要大于右边的最大值，而右边的最大值是：9/4所以a²-a≥9/4==>a²-a +1/4≥9/4+1/4=5/2
即:(a-1/2)^2≥5/2 a-1/2≥√10/2 或a-1/2≤ -√10/2
a≥√10/2+1/2 或a≤1/2 -√10/2
求交集得：-√2＜a≤1/2 -√10/2