Question

这道几何题如何解,如图

Answer 1

此题主要是勾股定理及其逆定理和全等三角形的有关知识的应用.要作比较复杂的辅助线,只要作好辅助线,也不难证明.

延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点，DE=DN，可证△BED全等于△CND（SAS）
得∠DBE=∠C，BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
所以AB^2+AC^2=（2AD）^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)

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证明:延长AD到E,使AD=DE,连结BE,延长ND交BE于点F,连结MF,MN.

(证明思路:由勾股定理得:DM^2+DN^2=MN^2,证到MN=MF,由BM^2+CN^2=DM^2+DN^2得到BM^2+CN^2=MF^2,容易证到CN=BF,利用勾股定理的逆定理从而得出<ABE是直角,得到AB^2+BE^2=AE^2,不难证明到BE=AC,AE=2AD,从而得证.)

AD=DE,BD=DC,<BDE=<ADC
△ADC和△BDE全等
BE=AC,<BED=<DAC==>AC//BE==><EBD=<ACD
<BDF=<CDN,AD=ED
△BDF和△NDC全等==>BF=NC,FD=DN
角MDN = 90度
所以,MF=MN
DM^2+DN^2=MN^2=MF^2=BM^2+CN^2
所以,<ABE=90度,==>AB^2+BE^2=AE^2
BE=AC,AE=2AD
所以,4AD^2=AB^2+AC^2

参考:

略证：
延长ND到E使DE=DN，
易知ME=MH，△DBE≌△DCH，BE=CH，BE//CN
∵BM^2+CN^2=DM^2+DN^2，
∴BE^2+BN^2=CH^2+BM^2=DM^2+DN^2=MN^2=ME^2,
∴△MBE为直角三角形，∠MBE=90°，
∴∠BAC=90°,AD为Rt△BAC斜边上的中线
∴AD=1/2BC，
∵BC^2=AB^2+AC^2,
∴AD^2=(1/2BC)^2=(AB^2+AC^2)/4

参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/9800026.html