Question

线性代数，线性方程组，线性相关与无关

Answer 1

简单

Answer 2

(1)
线性相关，充要条件 是行列式A
k 1 1
1 k 1
1 1 k
等于0

使用初等行变换，第2、3列加到第1列，并提取第1列公因子，得到
(k+2)*
1 1 1
1 k 1
1 1 k
第2、3列，都减去第1列，得到
(k+2)*
1 0 0
1 k-1 0
1 0 k-1

化成下三角，因此行列式，等于
(k+2)(k-1)²

令其等于0，解得k=1或-2，此时向量组线性相关
否则线性无关

（2）
观察线性方程组Ax=β的增广矩阵A|β
k 1 1 1
1 k 1 k
1 1 k k²
初等行变换（第3行减去第2行k倍，第2行减去第1行k倍），化成
k 1 1 1
1-k² 0 1-k 0
1-k 1-k² 0 0

当k=1时，显然，r(A)=r(A|β)=1,此时有无穷多组解，即β可用前3个向量线性表示，且表示法不唯一。

当k=-2时，由（1）的讨论知道，r(A)<3，但r(A|β)=3，因此方程组无解，即β无法用前3个向量线性表示

当k取其他值时，r(A)=r(A|β)=3，方程组有唯一解，即β可以用前3个向量线性表示，且表示法唯一。