Question

请高手帮忙做下下面两道微积分的题，谢谢了

Answer 1

第1,2两题是一阶非齐次常微分方程，有通用公式的，这个你查书就都有了，这里改用别的方法——积分因子法，并只给提示，最终结论可以很容易得到。
1. 考虑1/(2x)的一个原函数ln(x)/2, 则有积分因子e^{ln(x)/2}=x^{1/2}=sqrt{x}, 直接考虑(sqrt{x}*y)'=sqrt{x}(y'+y/(2x))=sqrt{x}*x^3, 这样就可以求出(sqrt{x}*y)'的原函数
2. 同1.的方法考虑(x*y)'=x(y'+y/x)=x(2x^4), 算出(x*y)'的原函数
第三题是可化为齐次方程型的微分方程因为左边是y', 右边的有效次数为2-2=0次分式。
这样定义Y=y/x=y(x)/x=Y(x)，则y=y(x)=x*Y(x)=x*Y, 故y'=Y+xY', 而等式右边是Y^{2}/(Y-1)
既有y'=Y+xY'=Y^{2}/(Y-1), 即x*Y'=Y/(Y-1)=x*dY/dx, 转化为分离变量型微分方程
(dx)/x=((Y-1)dY)/Y,两边同时取∫
有ln(|x|)+C=Y-ln(|Y|), C任意常数
既有ln(|x|)+C=y/x-ln(|y/x|), 即y/x-ln(|y|)=C,
注：这最终答案可能会有不同，但一般最终答案可以互相转化。另外注意这里没考虑分母为零时的特别情况，显然x≠0，但在式子((Y-1)dY)/Y中，Y作为分母为零时，显示例外解y=0,(x∈D)，而D是不含0的定义域。