Question

数学解析几何

过点M(0，-1/3）的动直线l交椭圆于A，Bl两点，已知椭圆方程为x^2/8+y^2/2=1,试问：在坐标平面是否存在一个定点T，使得无论动直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过顶点T？若存在，求出点T的坐标。若不存在，请说明理由。
对不起，我把椭圆的方程弄错了，应该是x^2/4+y^2=1.

Answer 1

设：直线l的方程是：y=kx－(1/3)，与椭圆x²＋4y²=8联立，得：
(4k²＋1)x²－(8/3)kx－(68/9)=0
设：A(x1，y1)、B(x2，y2)，则以AB为直径的圆是：
[x－(x1＋x2)/2]²＋[y－(y1＋y2)/2]²=(1/4)[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
化简，得：
x²＋y²－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y1=0
而：x1＋x2=(8k)/(12k²＋3)，x1x2=－68/[3(12k²＋3)]，
y1＋y2=－2/(12k²＋3))，y1y2=k²(x1x2)－(1/3)k(x1＋x2)＋(1/9)=(－72k²＋1)/[3(12k²＋3)]
代入，化简，得：
(4x²＋4y²－24)k²－8kx＋(3x²＋3y²＋2y－67/3)=0 -------------------(***)
(***)对一切k恒成立，则：
1、从k的一次项来看，必须：x=0
2、4x²＋4y²－24=0且3x²＋3y²＋2y－67/3=0【这个方程组无解】
从而不存在这样的顶点T。
|AB|=[√(1＋k²)]×|x1－x2|
则以AB为直径的圆的方程是：
[x－(4k)/(12k²＋3)]²＋[y＋1/(12k²＋1)]²=(|AB|/2)²=[4(1＋k²)(68k²－13)]/[9(4k²＋1)]²√√√√√

追问

对不起，我把椭圆的方程弄错了，应该是x^2/4+y^2=1.
你在帮我算下行吗？我在给你追加50分

追答

设：A(x1，y1)、B(x2，y2)，则以AB为直径的圆是：
[x－(x1＋x2)/2]²＋[y－(y1＋y2)/2]²=(1/4)[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
化简，得：
x²＋y²－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y1=0 -------------------------(***)

直线y=kx－(1/3)代入椭圆后，化简，得：
(4k²＋1)x²－(8/3)kx－(32/9)=0
得：
x1＋x2=(8k)/(12k²＋3)，x1x2=－32/[3(12k²＋3)]，
y1＋y2=－2/(12k²＋3))，
又：y1y2=[kx1－(1/3)]×[kx2－(1/3)]
=k²(x1x2)－(1/3)k(x1＋x2)＋(1/9)
所以，x1x2＋y1y2=(k²＋1)(x1x2)－(1/3)(x1＋x2)＋(1/9)=(－36k²－31)/[3(12k²＋3)]
则方程(***)为：
x²＋y²－[(8k)/(12k²＋3)]x＋[2/(12k²＋3)]y－(36k²＋31)/[3(12k²＋3)]=0
整理得：
(4x²＋4y²－12)k²－8kx＋(3x²＋3y²＋2y－31/3)=0
1、从k的一次项来看，必须：x=0
2、4x²＋4y²－12=0且3x²＋3y²＋2y－31/3=0，即：
3x²＋3y²=9且3x²＋3y²＋2y－31/3=0
y=2/3，此时算出的x≠0
从而不存在
【你这变动实在是害人，也许我计算有错误，但方法肯定正确】
将以AB为直径的圆改写成关于k的一元二次方程的形式，再从二次项系数、一次项系数和常数项都为0来求出x、y的值。

Answer 2

先看直线l 斜率存在的情况，设为y=kx-1/3，设A(x1,y1) B(x2,y2) T(m,n)
联立方程：9(1+2k^2)x^2-12kx-34=0
x1+x2=12k/9(1+2k^2) x1x2=-34/9(1+2k^2)

以AB为直径的圆恒过顶点T，也就是AT⊥TB
而向量AT=(m-x1,n-y1) BT=(m-x2,n-y2)
AT*BT=0
所以(m-x1,n-y1)*(m-x2,n-y2)=0
(m-x1)(m-x2)+(n-y1)(n-y2)=0 y1=kx1-1/3 y2=kx2-1/3带入得：
(1+k^2)x1x2-(m+(n+1/3)k)(x1+x2)+m^2+(n+1/3)^2=0
x1+x2=12k/9(1+2k^2) x1x2=-34/9(1+2k^2)代入，化简
(-24(n+1/3)+18m^2+18(n+1/3)^2-34)k^2-24mk+9(m^2+(n+1/2)^2)-34=0
k任意，所以只有
24m=0
-24(n+1/3)+18m^2+18(n+1/3)^2-34=0
9(m^2+(n+1/2)^2)-34=0
得到m=0 n^2=2，但是不符合第三个式子
所以不存在这样的T