Question

高一数学解三角形

1)三角形ABC,若b=2a，B=A+60,则A= ?
2)已知三角形ABC的一个内角是120度，且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形ABC的面积为 ？
3)在三角形ABC中，角C＝60度，a b c分别为角A,角B,角C的对边，则b+c分之a＋a+c分之b＝ ?
4)三角形ABC中，1-cosB分之1-cosA=b分之a则三角形ABC一定是＿三角形？
要简要过程

Answer 1

1）
B对应b，A对应a，B=（A+60），b=2a
由正弦定理得
b/sinB=a/sinA
2a/sin（A+60）=a/sinA
2sinA=sin(A+60)
2sinA=sinAcos60+cosAsin60
2sinA=(1/2)sinA+[(√3)/2]cosA
(√为根号)
sinA/cosA=(√3)/3=tgA
所以
A=30度

2）
解：设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，
则cos120°=[ (x-4)²+x²-(x+4)²]/2(x-4)x=-1/2 ，
化简得：x-16=4-x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，14
则△ABC的面积S= 1/2×6×10sin120°=15 根号3．

3）
先余弦定理
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2
a^2+b^2-c^2=ab
再把上面那个式子通分
可化成
（a^2+ac+b^2+bc）/(bc+c^2+ac+ab)
把a^2+b^2=c^2+ab带入
就化成
(bc+c^2+ac+ab)/(bc+c^2+ac+ab)
即为1

4)
由题意，b(1-cosA) = a(1-cosB).
由余弦定理：b(1-cosA) = b-bcosA = b-b*(b²+c²-a²)/(2bc) = b-(b²+c²-a²)/(2c) = (2bc-b²-c²+a²)/(2c)
同理，a(1-cosB) = a-acosB = a-a*(a²+c²-b²)/(2ac) = (2ac-a²-c²+b²)/(2c).
比较上面两式可知 2bc-b²-c²+a² = 2ac-a²-c²+b²，所以 2a²-2b²+2bc-2ac = 0.
又因为 2a²-2b²+2bc-2ac = 2(a+b)(a-b)-2c(a-b) = 2(a-b)(a+b-c) = 0，而 a+b-c>0，所以 a = b，因此△ABC是等腰三角形。

多给点分呀，亲。