Question

已知A,B是锐角,A+B≠π/2,且满足3sinB=sin(2A+B),求证tanB≤(2^0.5)/4

最好用基本不等式

Answer 1

∵3sinB=sin(2A+B)
∴2sinB=sin(2A+B)-sinB=2cos(A+B)sinA （和差化积公式）
∴sinB=-cosCsinA
∴sin(A+C)=-cosCsinA
∴sinAcosC+cosAsinC=-cosCsinA
∴cosAsinC=-2cosCsinA
∵,A+B≠π/2∴C≠π/2
∴tanC=-2tanA
∴tanB=tan(180º-A-B)=-tan(A+B)
=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
=tanA/(1+2tan²A)
=1/(1/tanA+2tanA)
∵已知A,B是锐角, tanA>0
∴1/tanA +2tanA≥2√2 (均值定理，tan²A=1/2时，取等号）
∴ 0<1/(1/tanA+2tanA)≤1/(2√2)=√2/4
∴ tanB≤√2/4