Question

设直线x=my+2与抛物线y的平方=2px相交与A,B两点,OA垂直与OB？

Answer 1

如果直线x = my + 2与抛物线y的平方 = 2px相交，则可以求出直线与抛物线的交点，即A和B。然后，可以使用计算几何知识来证明OA垂直于OB。
首先，使用一元二次方程的标准格式来表示抛物线：y = 2px - x^2。接下来，可以将x = my + 2带入抛物线方程中，以求出m和p的值：
2p(my + 2) - (my + 2)^2 = 2px - x^2
将(my + 2)^2展开：
2pm^2y + 4pm + 4 - m^2y^2 - 4my - 4 = 0
将x和y的平方分别表示为x^2和y^2：
2pm^2y + 4pm + 4 - m^2y^2 - 4my - 4 = 0
此时，可以将2pm^2和-m^2y^2分别视为常数，并将方程化简为一元一次方程：
4pm + 4 - 4my - 4 = 0
化简后：
4p - 4m = 0
除以4：
p = m
现在，已知p = m，可以代入x = my + 2方程中，以求出y的值：
y = 2pm - (my + 2)^2
y = 2pm - m^2y^2 - 4my - 4
将p = m代入：
y = 2m^2 - m^2y^2 - 4my - 4
y = m^2 - 4my - 4
由于OA垂直于OB，因此可以推断OA垂直于x轴和y轴。此时，可以得出OA的斜率是0，即OA是一条水平线。因此，OA的方程可以表示为：
y = k
其中k是常数