Question

带矩阵的向量叉乘公式

请教大家一个问题：
M表示一个3*3的矩阵，a,b分别表示一个3*1的向量
cross(Ma,Mb) = N cross(a,b)
请问 N是什么？如何用M表示？

Answer 1

利用伴随矩阵可得

追问

请问这个公式出自哪里？有相关的教材可以看看吗？

追答

我自己推导的，不知道有没有教材写过。

追问

可否给出过程？谢谢啦

Answer 2

带矩阵的向量叉乘公式:
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示？
答：
[1]引言
在百度百科搜索向量积，叉积，矢量积，外积，其中前两者给出了重要参考内容。
向量叉积的坐标表示：
设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，
则 a×b=
下面矩阵的行列式，其中i,j,k为单位向量，其它为数。
i j k 　　
a1 b1 c1
a2 b2 c2
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
给定直角坐标系的单位向量 i，j，k满足下列等式：
i ×j = k
j ×k = i
k ×i = j
[2]题：
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示？
解：
将上面引言中的设定进行转置,记号不变,即我们现在设a=(a1,b1,c1)'，b=(a2,b2,c2)' (3*1的列向量).这里只是备用,不一定用得到.
设M由三个行向量r1,r2,r3组成.下面用*表示点乘和矩阵乘法.
则Ma=(r1*a, r2*a, r3*a), Mb= (r1*b, r2*b, r3*b)
于是
cross((Ma,Mb)=
下面矩阵A的行列式
i j k 　　
r1*a r2*a r3*a
r1*b r2*b r3*b
注意也可以是它的转置矩阵A'的行列式.
而A'
=M*矩阵B
=M*矩阵{(i,j,k)', a, b}
故
cross((Ma,Mb)=det(M)*det(B)
这里det(M)或记为|M|,是M的行列式.
由引言类比,易知
cross(a,b)=矩阵B的行列式=det(B).
综上,
cross(Ma,Mb) = det(M)* cross(a,b)
所求N=|M|

追问

M*B 不等于A' 呀， 矩阵的第一列不对吧？