已知，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于D，且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M。求证AM=2/1（AB+AC) 20
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取AD、CD的中点为E，F点，连接EF，FM，
∴EF是三角形ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF=1 2 AC，
∠DEF=∠CAD，
∵CM⊥AD，CF=DF
∴DF=MF，∠FDM=∠FMD=∠ADB，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=∠AMF，
∴A、B、M、F四点共圆，
∴∠BAM=∠BFM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM=∠FEM，
∠FEM+∠EFD=∠EFD+∠BAM=∠EFD+∠BFM=∠EFM=∠FDM=∠FMD，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM=1 2 AC，
∵AE=1 2 AD=1 2 AB，
∴AM=AE+EM=1 2 （AB+AC）．
即AM=1 2 （AB+AC）．
∴EF是三角形ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF=1 2 AC，
∠DEF=∠CAD，
∵CM⊥AD，CF=DF
∴DF=MF，∠FDM=∠FMD=∠ADB，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=∠AMF，
∴A、B、M、F四点共圆，
∴∠BAM=∠BFM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM=∠FEM，
∠FEM+∠EFD=∠EFD+∠BAM=∠EFD+∠BFM=∠EFM=∠FDM=∠FMD，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM=1 2 AC，
∵AE=1 2 AD=1 2 AB，
∴AM=AE+EM=1 2 （AB+AC）．
即AM=1 2 （AB+AC）．
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