Question

R是A上的自反关系，且当(a，b)∈R和(b，c)∈R时，必有(c，a)∈R，证明R是等价关系。

Answer 1

【答案】：[证明]首先证明R是对称关系。
由题设条件可知，当(a，b)∈R和(b，c)∈R时，必有(c，a)∈R。因为R是A上的自反关系，所以有(b，b)∈R。再利用题设条件可得：当(a，b)∈R和(b，b)∈R时，必有(b，a)∈R，由此可知R是对称关系。
其次证明R是传递关系。
由于(a，b)∈R，(b，c)∈R必有(c，a)∈R。利用已证得的R是对称关系，即得(a，c)∈R。由此证得R是传递关系，因此也证明了R是等价关系。