Question

已知正实数a，b，c满足a^2+b^2+c^2=1，求ab+ac+3√2/2bc的最大值

Answer 1

已知正实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，求ab+ac+(3√2/2)bc的最大值
解：用拉格朗日乘数法求解。为此作函数：F(a，b，c)=ab+ac+(3√2/2)bc+λ(a²+b²+c²-1)
令∂F/∂a=b+c+2λa=0.....................(1)
∂F/∂b=a+(3√2/2)c+2λb=0..........(2)
∂F/∂c=a+(3√2/2)b+2λc=0...........(3)
a²+b²+c²=1.................................(4)
由(1)得λ=-(b+c)/2a........(5)
将(5)代入(2)(3)得：
a+(3√2/2)c-b(b+c)/a=0，去分母得2a²+3(√2)ac-2b²-2bc=0............(6)
a+(3√2/2)b-c(b+c)/a=0，去分母得2a²+3(3√2)ab-2c²-2bc=0..........(7)
(6)-(7)得3(√2)a(c-b)+2(c²-b²)=(c-b)[3(√2)a+2(c+b)]=0，由于a、b、c都是正数，故
3(√2)a+2(c+b)≠0，∴必有c-b=0，即有b=c........(8)；代入(5)式得λ=-b/a=-c/a..........(9)
将(8)(9)代入(2)式得a+(3√2/2)b-2b²/a=0，去分母得：
2a²+(3√2)ab-4b²=[(√2)a-b][(√2)a+4b]=0，由于(√2)a+4b≠0，故必有b=(√2)a；
将b=c=(√2)a代入(4)式得：a²+2a²+2a²=5a²=1，故得a=1/√5，b=c=(√2)a=√(2/5)时原式获得最大值，即max[ab+ac+(3√2/2)bc]=(√2)/5+(√2)/5+(3/5)√2=√2.

Answer 2

题目不明确。。。是3√2/(2bc)还是(3√2/2)bc?

追问

是(3√2/2)bc

追答

设b=√(1-a²)sinβ,c=√(1-a²)cosβ,∵a,b,c＞0∴00内单调递增,
∴g|max=g(√[2(1-a²)])=a√[2(1-a²)]+(3√2/4)*2(1-a²)-(3√2/4)*(1-a²)=a√[2(1-a²)]+(3√2/4)*(1-a²),
此时,x=√[2(1-a²)],sin(β+π/4)=1,∵0<β＜π／2,∴β=π/4,即b=c=√[(1-a²)/2],a²+2b²=1
可设a=sinθ,b=cosθ/√2,0<θ＜π／2
∴原式f(a,b,c)=a(b+c)+(3√2/2)bc=2ab+(3√2/2)b²
=(2sinθcosθ)/√2+(3√2/4)cos²θ……cos²θ=(cos2θ+1)/2
=(1/√2)sin2θ+(3√2/8)cos2θ+3√2/8……xsinα+ycosα=√(x²+y²)sin(α+ψ),其中ψ=arccos[x/√(x²+y²)]
=[√(1/2﹢9/32)]*sin(2θ+ψ)+3√2/8……此时,ψ=arccos(4/5)≈36.9º
=[√(25/32)]sin(2θ+ψ)+3√2/8
=5√2/8sin(2θ+ψ)+3√2/8
此时,原式最大值为5√2/8+3√2/8=√2,此时,θ=[π/2-arccos(4/5)]/2,a=√5/5,b=√10/5
∴当a=√5/5,b=c=√10/5时,
ab+ac+3√2/2bc取最大值,且最大值为√2.

..........希望对你有帮助!!!不懂,可以Hi我.....

Answer 3

1/2+3√2/4