Question

已知实数a、b、c满足ab+bc+ac=1,求证：a^2+b^2+c^2大于等于1

Answer 1

证：
因为a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
上面三式相加得
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)=2
即a²+b²+c²≥1 当且仅当a=b=c=√3 /3时取等号。
证毕

Answer 2

(a - b)^2 + (b - c)^2 +(a - c)^2 >= 0
a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac。
ab+bc+ac=1
那么a^2 + b^2 + c^2 >=1

Answer 3

假设：a^2+b^2+c^2≥1
因为ab+bc+ac=1
所以a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
即a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac≥0
又上式可转化为（a-b）^2+（b-c）^2+（a-c）^2≥0
故假设成立。

Answer 4

因为 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
所以 2（a^2+b^2+c^2）>=2（ab+bc+ac）=2
所以 a^2+b^2+c^2>=1

Answer 5

a^2+b^2》2ab，就用这个，2（a^2+b^2+c^2）》2ab+2bc+2ac