Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于H,过H作GH⊥BD于G，求①∠HAE=

如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于H,过H作GH⊥BD于G，求①∠HAE=45°，②BD=2FG,③△CEH的周长为定值。

Answer 1

解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALF+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
（2）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．

（3）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．