Question

已知函数f(x)=2eˣ⁻¹-x²,其中a∈Re是自然对数的底数求f(x)的单调

Answer 1

为了求出函数f(x)的单调性，我们需要求出它的导数f'(x)并判断其符号。首先，我们可以使用链式法则和幂函数的导数公式来计算f'(x)：

f'(x) = [2e^(x⁻¹-x²)]' = 2e^(x⁻¹-x²) * [(x⁻¹-x²)' + (-x²)' ]
= 2e^(x⁻¹-x²) * [(-x⁻²-2x) + (-2x)]
= 2e^(x⁻¹-x²) * (-x⁻² - 4x)

现在我们需要判断f'(x)的符号。因为e的底数是自然对数的底数，即e ≈ 2.71828，所以2e^(x⁻¹-x²)始终是正数。因此，f'(x)的符号取决于(-x⁻² - 4x)的符号。我们可以使用一些数学技巧来判断这个符号。

首先，我们注意到当x=0时，f'(x)等于0。这意味着f(x)在x=0处取得了一个极值。因为f(x)的二次项系数为负数，所以这个极值是一个局部最大值。

其次，我们可以观察(-x⁻² - 4x)的符号随着x的增大或减小而变化。当x取负无穷大或正无穷大时，(-x⁻² - 4x)趋近于0。当x取一个较大的正数时，-x⁻²的绝对值比4x的绝对值小得多，因此(-x⁻² - 4x)是负数。同样，当x取一个较小的负数时，-x⁻²的绝对值比4x的绝对值小得多，因此(-x⁻² - 4x)是正数。综上，我们可以得出(-x⁻² - 4x)在x=0左侧为正，在x=0右侧为负。

因此，f(x)在x<0时单调递减，在x>0时单调递增，并在x=0处取得一个局部最大值。