Question

1）.如图（1），在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE平行BC，交直线AB于点D，

1）.如图（1），在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE平行BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 求证：BD+CE=DE.
（2）.如图（2），△ABC的外角平分线BF，CF相交于F，过点F作DE平行BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD，CE，DE之间存在着什么关系？并证明这种关系.
（3）.如图（3），∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE平行BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD，CE，DE之间存在着什么关系？根据（1）、（2）写出你的猜想.

Answer 1

（1）∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD+CE=DE；

（2）∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD+CE=DE；

（3）猜想：BD-CE=DE，
∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD-CE=DE．