Question

在数列(an)中,Sn是数列(an)前n项和,a1=1,n≥5时2SnSn-1=Sn-1-Sn

求an. 2.设bn=Sn/2n+1,求数列(bn)的前n项和和Tn

Answer 1

2SnSn-1=Sn-1-Sn
2=1/Sn-1/Sn-1
S1=a1=1
1/Sn 是一个首项为1 公差为2的等差数列
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
an=Sn-Sn-1
=1/(2n-1)-1/(2n-3)

bn=Sn/2n+1=1/((2n-1)(2n+1))
=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
Tn=1/2(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1))
=n/(2n+1)

追问

那是否存在自然数m,使得对任意自然数n属于N+，都有Tn大于1/4（m-8）成立？存在的话帮我求一下。谢谢！

追答

Tn=n/(2n+1) =1/(2+1/n)
1/3≤Tn<1/2
Tn大于1/4（m-8）成立
1/4(m-8)<1/3
m<28/3

存在自然数m,使得对任意自然数n属于N+，都有Tn大于1/4（m-8）成立

Answer 2

太坑爹了，就算我会咋给你打出来！！！

楼上人才！

Answer 3

n≥5???
解：(1)2SnSn-1+sn=Sn-1
Sn(2Sn-1+1)=Sn-1
Sn=Sn-1 / (2Sn-1+1)
1/Sn=2+1/Sn-1
1/Sn-1/Sn-1=2
∴{1/Sn}成首项为1，公差为2的等差数列
1/Sn=1+(n-1)*2=2n-1
Sn=1/(2n-1)
an=Sn-Sn-1=1/(2n-1) - 1/(2n-3)
(2)bn=1/(2n+1)/(2n+1)=1/(2n+1)^2
=1/2[1/ (2n-1)-1/(2n+1)]
裂项求和Tn=1/2[1/1-1/3+1/3-1/5……+1/ (2n-1)-1/(2n+1)]=1/2[1 -1/(2n+1)]=1/(2n+1)-1/2