Question

已知数列{an}中，a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等2的）

1是否存在实数y，使得数列{an+y/2的n次方}为等差数列？若存在，求出y的值。若不存在，请说明理.2。在1的条件下求出数列的前n项和Sn。

Answer 1

1.
an=2a(n-1)+2ⁿ-1
an -1=2a(n-1) -2 +2ⁿ
an -1=2[a(n-1) -1]+2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
(an -1)/2ⁿ=[a(n-1)-1]/2^(n-1) +1
(an -1)/2ⁿ-[a(n-1)-1]/2^(n-1)=1，为定值。
(a1-1)/2=(5-1)/2=4/2=2
数列{(an -1)/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
即存在实数y=-1，使数列{(an +y)/2ⁿ}为等差数列。
2.
(an -1)/2ⁿ=2+(n-1)=n+1
an=(n+1)2ⁿ +1=n×2ⁿ+2ⁿ+1
Sn=a1+a2+...+an=(1×2+2×2²+...+n×2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)+n
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)
Sn=Cn+(2+2²+...+2ⁿ)+n
=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)+n
=n×2^(n+1) +n