Question

排列组合八个一样球放到四个盒子没个盒子至少一个至多3个有多少种分法？

Answer 1

这是一个经典的组合问题，可以使用组合数学的方法解决。

首先，将八个球放到四个盒子中，可以看做从八个球中选出三个球作为分割线，将这八个球分成四组。这样的分法共有$C_7^3$种。

接下来考虑每个盒子内的球的情况。由于每个盒子至少有一个球，因此先将每个盒子放入一个球，剩下四个球可以任意分配到四个盒子中。对于每个盒子内的球数，可以看做是一个从四个球（包括两个特殊的球，表示盒子之间的分割线）中选出一个球的问题，因此每个盒子内的球的分配情况共有$C_3^1=3$种。由于四个盒子是相互独立的，因此四个盒子内球的分配情况共有$3^4$种。

将上述两个步骤合并，可以得到结果：$$C_7^3 \times 3^4 = 35 \times 81 = 2835$$ 因此，八个球放到四个盒子中，每个盒子至少一个至多三个的分法共有2835种。

Answer 2

答：有2种分法。①2盒子放1个，1盒子放2个，1盒子放3个；②1盒子放1个，另3个盒子分别放2个。