Question

X²-4x+y²-1=0怎么化圆的方程？

过点（0，-2）与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角是多少？

Answer 1

要将该方程化为圆的方程，需要将其转化为标准形式，即将所有的项移到等号的一侧，并保持平方项的系数为1。首先，将方程分组：

(X^2 - 4x) + (y^2 - 1) = 0

然后，我们需要完善平方项的系数。为了完成平方项 (X^2 - 4x)，需要添加一个适当的常数，而保持等式平衡。这个常数为 (4/2)^2 = 4，所以我们将其添加到括号中：

(X^2 - 4x + 4) + (y^2 - 1) = 4

现在，我们需要将方程右侧的常数移动到方程的左侧，所以我们减去4：

(X^2 - 4x + 4) + (y^2 - 1) - 4 = 0

合并项，得到：

(X^2 - 4x + y^2) - 1 = 0

因此，这个方程的标准形式为：

(X^2 - 4x + y^2) = 1

最后，我们可以将方程进行进一步的简化，即将系数为1的平方项用圆心和半径表示：

(X - 2)^2 + y^2 = 1

所以，该方程的圆的方程为 (X - 2)^2 + y^2 = 1。

Answer 2

x²-4x+y²-1 = 0, x²-4x+4+y²-1 = 4, 圆方程 (x-2)² + y² = 5.
圆心 C(2, 0), 半径 r = √5.
记点 P(0, -2), 则 PC = 2√2， PC 与过点 P 的切线夹角是
arcsin[√5/(2√2)] = arcsin(√10/4),
两条切线的夹角是 2arcsin(√10/4)

Answer 3

要将方程 X² - 4x + y² - 1 = 0 化为圆的方程，我们需要完成平方项的配方。
首先，我们将方程中的 X² - 4x 这一项进行配方：
X² - 4x = (X - 2)² - 4
将这个结果代入原方程，得到：
(X - 2)² - 4 + y² - 1 = 0
合并常数项，化简为：
(X - 2)² + y² - 5 = 0
这就是一个圆的方程，圆心为 (2, 0)，半径为 √5。
接下来，我们确定过点 (0, -2) 与圆 x² + y² - 4x - 1 = 0 相切的两条直线。
首先，求过点 (0, -2) 的切线方程。由于切线与圆相切，所以切线的斜率与过切点的半径垂直。
圆 x² + y² - 4x - 1 = 0 的圆心为 (2, 0)，半径为 2。过点 (0, -2) 与圆的半径相交于切点 (0, -2)。因此，切线的斜率为与半径的斜率的负倒数。
半径的斜率为 (0-2)/(0-2) = 1。所以切线的斜率为 -1。
通过点斜式，得到切线方程为 y - (-2) = -1(x - 0)：
y + 2 = -x
求出切线的斜率，我们可以计算两条直线的夹角。夹角的正切等于两条直线的斜率之差的绝对值除以 1 + 两条直线斜率的乘积。
夹角的正切 = |(-1) - 0| / (1 + (-1) * 0) = 1 / 1 = 1
夹角的正弦等于 正切 / √(正切² + 1) = 1 / √(1 + 1) = 1 / √2 = √2/2
所以两条直线的夹角的正弦值为 √2/2，夹角为 45°。
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Answer 4

x²-4x+y²-1=0
（x²-4x+4）+y²-1-4=0
（x-2）²+y²=（√5）²