Question

设P为三角形ABC内一点，AB=BC，∠ABC=80°,∠PAC=40°,∠ACP=30°,求∠BPC

Answer 1

∵AB=BC
∴△ABC是等腰三角形
作BD垂直AC
设BD交CP于点E
∠PEA=∠ECA+∠EAC
=2×30°
=60°

∠PEB=∠CED=60°
所以PE平分∠AEB
又∠PAE=∠PAC-∠EAC=40°-30°=10°
∠PAB=∠CAB-∠PAC=½×(180°-80°)-40°=10°
因此P是△ABE的内心
即P是角平分线的交点（解答关键）
∠PBE=½∠EBA=½×40°=20°
从而
∠BPC=180°-∠PEB-∠PBE
=180°-60°-20°
=100°
不用对称性也可以，但不如上面的方法简单！

Answer 2

解:在∠PAC内部作∠PAD=10°,交PC于D,连接BD.
则∠DAC=30°=∠PCA,故DA=DC,BD平分∠ABC,∠ABD=∠CBD=40°.
∵∠PDA=∠DAC+∠PCA=60°;∠PDB=∠DCB+∠CBD=60°.
∴PD平分∠ADB;
又∠PAD=∠PAB=10°,即PA平分∠BAD,故点P为⊿ADB的内心.
所以:∠ABP=∠DBP=20°,∠PBC=60°,∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=100°.