Question

锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC

（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）点O是否在角BAC的角平分线上?理由？

Answer 1

1、证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BEC＝∠CDB＝90
∵OB＝OC
∴∠DBC＝∠ECB
∵BC＝BC
∴△BDC≌△CEB （AAS）
∴∠DCB＝∠EBC
∴AB＝AC
∴等腰△ABC
2、O在∠BAC的平分线上
∵△BDC≌△CEB
∴BE＝CD
∵AE＝AB-BE，AD＝AC-CD，AB＝AC
∴AE＝AD
∵∠BEC＝∠CDB＝90，AO＝AO
∴△AEO≌△ADO （HL）
∴∠EAO＝∠DAO
∴AO平分∠BAC
∴O在∠BAC的平分线上

Answer 2

OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
又∵∠BEC=∠CDB=RT∠，
∠ABC=∠ABC(等角的余角相等)
∴△ABC是等腰三角形。
连结AO,
AO=AO，AB=AC，OB=OC
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠CAO,
即点O在角BAC的角平分线上

Answer 3

（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
AB=ACOB=OCOA=OA​
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．

Answer 4

1、证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BEC＝∠CDB＝90
∵OB＝OC
∴∠DBC＝∠ECB
∵BC＝BC
∴△BDC≌△CEB （AAS）
∴∠DCB＝∠EBC
∴AB＝AC
∴等腰△ABC
2、O在∠BAC的平分线上
∵△BDC≌△CEB
∴BE＝CD
∵AE＝AB-BE，AD＝AC-CD，AB＝AC
∴AE＝AD
∵∠BEC＝∠CDB＝90，AO＝AO
∴△AEO≌△ADO （HL）
∴∠EAO＝∠DAO
∴AO平分∠BAC
∴O在∠BAC的平分线上

Answer 5

证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）点O在∠BAC的角平分线上． 理由：连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O两点在线段BC的垂直平分线上，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上