Question

已知x,y>0,且x²+y²=1,则x+y的最大值等于

Answer 1

解法一：均值不等式
由均值不等式得：x²+y²≥2xy
(x+y)²=x²+y²+2xy≤x²+y²+x²+y²=2(x²+y²)
x²+y²=1
(x+y)²≤2·1=2
x>0，y>0，x+y>0
x+y≤√2
x+y的最大值为√2

解法二：三角函数
由x，y>0，x²+y²=1
令x=cosθ，y=sinθ，(θ∈(0，π/2])
x+y=cosθ+sinθ
=√2[(√2/2)sinθ+(√2/2)cosθ]
=√2sin(θ+π/4)
θ∈(0，π/2]，π/4<θ+π/4≤3π/4
sin(θ+π/4)≤1，√2sin(θ+π/4)≤√2
x+y≤√2
x+y的最大值为√2

Answer 2

根号2
由于(x+y)²=x²+y²+2xy，由于基本不等式有 1=x²+y²≥2xy且当x=y=二分之根号二的时候取得等号
故此时有(x+y)²=x²+y²+2xy=2(x²+y²)=2，则x+y=根号2

Answer 3

这是我用计算机算的，最大值根号2，此时x=2分之根号2，y=2分之根号2