Question

△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P,Q分别是AB,AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC中点

（1）：求证，△PDQ是等腰直角三角形
（2）：当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由

Answer 1

证明：1）连接AD
因为△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是BC中点
易证AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠DAQ=45°，∠ADB=90°
又因为BP=AQ
所以△BPD≌△ADQ
所以PD=DQ,∠BDP=∠ADQ,又因为∠ADB=∠BDP+∠PDA=90°
所以∠ADQ+∠PDA=∠PDQ=90°
所以△PDQ是等腰直角三角形
2）当点P运动到AB中点时，四边形APDQ是正方形，
理由：若P为AB中点，则DP=1/2AB=,DP⊥AB
此时Q为AC中点，此时QD=1/2AC=AQ.DQ⊥AC
所以∠DPA=∠PAQ=∠AQD=90°,所以四边形APDQ是矩形
又因为AP=PD,所以四边形APDQ是正方形

你若满意，请及时采纳！

Answer 2

证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°且 D是BC中点。
所以，AD平分∠A，且AD垂直于BC。
所以∠BAD为45度。（1）
又 因为P,Q分别是AB,AC上的动点，且满足BP=AQ，所以PQ平行于BC。设PQ交AD于S所以∠PSA＝90度。（2）∠QPA＝45度。（3）
根据（1）(2)(3)点△PDQ是等腰直角三角形。

（2）中点。即DP垂直于AB时。