Question

求方程y”+3y’+2y=e^(-x)的特解

错了 是通解。老师给的答案是y=(C1)e^x+(C2)e^(2x)+(1/6)e^(-x)

Answer 1

具体回答如下：

y''+3y'+2y=3xe^(-x)

特征方程r^2+3r+2=0的解为r1=-1,r2=-2

因此齐次方程y''+3y'+2y=0的通解为y1=Ae^(-x)+Be^(-2x)

用常数变易法求特解，设y*=A(x)e^(-x)+B(x)e^(-2x)

A'e^(-x)+B'e^(-2x)=0

-A'e^(-x)-2B'e^(-2x)=3xe^(-x)

解得A'=3x，B'=-3xe^x

积分得A=(3/2)x^2+C1，B=(1-3x)e^x+C2

y*=[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)

原微分方程的特解为：y=y1+y*=Ae^(-x)+Be^(-2x)+[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)

高阶递推：

对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个xn换成x ，就是它的特征方程。

最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

Answer 2

特征方程 λ²+3 λ+2=0，( λ+1)( λ+2)=0,所以 λ=-1，另一个是 λ= -2
y”+3y’+2y=0的通解为y=C1e^(-x)+C2e^(-2x),(C1,C2是任意常数)
有设原方程的特解为y*=Kxe^(-x),则y*'=ke^(-x)-Kxe^(-x). y*"=-ke^(-x)-ke^(-x)+Kxe^(-x),
代入原方程，得
[-ke^(-x)-ke^(-x)+Kxe^(-x)]+3[ke^(-x)-Kxe^(-x)]+2[kxe^(-x)]=e^(-x)
则[-2k+kx+3k-3kx+2kx]e^(-x)=e^(-x),得ke^(-x)=e^(-x),所以k=1.
所以特解为y*=xe^(-x)
通解为y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+xe^(-x)，(C1,C2是任意常数)
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(代入原方程验证，正确。)

Answer 3

╮(╯﹏╰）╭