Question

P为△ABC平面内一点，向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.证明P是△ABC的内心

Answer 1

向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.
设向量AB的模=c, 向量BC的模=a，向量CA的模=b,
所以aPA向量+bPB向量+cPC向量=0向量，
延长CP交AB于D，根据向量加法得：
PA=PD+DA,PB=PD+DB,代入已知得：
a(PD+DA)+b(PD+DB) +cPC=0,
因为PD与PC共线，所以可设PD=kPC,
上式可化为(ka+kb+c) PC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量PC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
∴P是△ABC的内心。

Answer 2

直接变形得到
AP = b/(a+b+c) AB + c/(a+b+c) AC
所以P在角BAC的平分线上。