Question

复变函数证明题

Answer 1

直接证明：

(1)因为f(z)是解析函数，所以满足柯西-黎曼方程：

而

因此

因此新函数的实部和虚部也满足柯西-黎曼方程，所以新函数也是解析函数。

(2)因为f=u+iv，所以

根据柯西-黎曼方程下复变函数的导数公式，得到

因此

同理得到

【注意：单下标表示一阶导数，双下标表示从左到右的二阶偏导数】

因此

证毕。

【注意：上图中标有红箭头的地方都用到了柯西-黎曼方程】