积分区域x^2+y^2<=2x,对于二重积分∫∫根号下(2x-x^2-y^2)]dxdy怎么算 10
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解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1>√(1-r²)rdr (做变换：x=1+rcosθ,y=rsinθ，则dxdy=rdθdr)
=2π(-1/2)∫<0,1>√(1-r²)d(1-r²)
=-π(2/3)[(1-1²)^(3/2)-(1-0²)^(3/2)]
=-π(2/3)(0-1)
=2π/3。
=2π(-1/2)∫<0,1>√(1-r²)d(1-r²)
=-π(2/3)[(1-1²)^(3/2)-(1-0²)^(3/2)]
=-π(2/3)(0-1)
=2π/3。
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积分区域：
x^2 + y^2 <= 2x => (x-1)^2 + y^2 <= 1
换元：
x = 1 + r * cos t，y = r * sin t，r ∈ (0，1)，t ∈ (0，2π). 雅克比为：r.
2x - x^2 - y^2 = -(x-1)^2 - y^2 + 1 = 1 - r^2
所以，原积分 = ∫[0,2π]dt ∫[0,1] r(1-r^2) dr = 2π * 1/4 = π/2.
x^2 + y^2 <= 2x => (x-1)^2 + y^2 <= 1
换元：
x = 1 + r * cos t，y = r * sin t，r ∈ (0，1)，t ∈ (0，2π). 雅克比为：r.
2x - x^2 - y^2 = -(x-1)^2 - y^2 + 1 = 1 - r^2
所以，原积分 = ∫[0,2π]dt ∫[0,1] r(1-r^2) dr = 2π * 1/4 = π/2.
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