Question

怎么用参数方程直接求面积

Answer 1

采用极坐标的面积元为ΔS =1/2 (r+Δr)^2  * Δθ - 1/2 r^2 * Δθ = r * Δr * Δθ；

所以极坐标下面积公式为S = ∫∫ r dr dθ = ∫ 1/2 r^2 dθ；

这里r = 1+cosθ；

所以S = ∫ 1/2 (1+cosθ)^2 dθ；

扩展资料：

曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标；

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数；

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数；

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数；

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a，t为参数；

Answer 2

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其在第一象限内部分的面积=∫ydx，由于dx=-asinθdθ，所以积分=-∫ab(sinθ)^2dθ（积分限π/2到0）=-ab∫(1-cos2θ)dθ/2,=πab/4，根据对称性，知椭圆面积=πab。

Answer 3

A=∫ y(dx/dt) dt

Answer 4

曲线的面积
采用极坐标的面积元为ΔS =1/2 (r+Δr)^2 * Δθ - 1/2 r^2 * Δθ = r * Δr * Δθ
所以极坐标下面积公式为S = ∫∫ r dr dθ = ∫ 1/2 r^2 dθ
这里r = 1+cosθ
所以S = ∫ 1/2 (1+cosθ)^2 dθ