Question

求解一道高中三角函数题。

已知f(x)=log2(xcosα+sinα),α∈(π/2,3π/4)。
当x∈[-1,1]时，恒有f(x)≥-1成立，求sin(α+π/4)的取值范围。
各位大神给详解！

Answer 1

由f(x)在0到正无穷上是单调递增函数以及f(1/2)=-1可知，xcosα+sinα≥1/2 x∈[-1,1] 恒成立。
令g(x)=xcosα+sinα
由α∈(π/2,3π/4)可知，cosα≤0，故g(x)在区间[-1,1]上单调递减，因而有g(1)=cosα+sinα≥1/2
所以√2 sin(α+π/4)≥1/2 即sin(α+π/4)≥√2/4
又由α∈(π/2,3π/4)可知，α+π/4∈(3π/4,π)，因而sin(α+π/4)≤√2/2
综上，√2/4≤sin(α+π/4)≤√2/2

Answer 2

f(x)>=-1恒成立，即log2(xcosa+sina)>=log2(1/2)恒成立。令g((x)=xcosa+sina,根据a的范围知道g(x)在[-1,1]上是单调递减函数，即g(x)的最小值是g(1),则原题等价于g(1)=cosa+sina>=1/2.即sqrt(2)sin(a+pi/4)>=1/2,sin(a+pi/4)>=sqrt(2)/4,又a在(pi/2,pi/4)上sin(a+pi/4)单调递减，故sin(a+pi/4)<sqrt(2)/2. 注：sqrt即根号。pi即圆周率。

Answer 3

先化一个变量，等价于。。。。。。。所以取直范围是2根号2分之一~根号2分之一

Answer 4

有F(x)?1恒成立?

Answer 5

[√2/4, √2/2)

追问

能够请你提供详解吗？

追答

解：
由题设可知，必恒有：
xcosa+sina≥1/2. （∵恒有log2[xcosa+sina]≥-1=loh2(1/2).
∴由对数函数单调性可知，必有：xcosa+sina≥1/2)
∴整理可得：
xcosa≥(1-2sina)/2.
∴应该恒有：x≤(1-2sina)/(2cosa). (由题设可知 cosa＜0. )
∵ -1≤x≤1.
∴必须恒有：(1-2sina)/(2cosa)≥1
∴1-2sina≤2cosa
即2sina+2cosa≥1
∴(2√2)sin[a+(π/4)]≥1
∴sin[a+(π/4)]≥(√2)/4
又由π/2＜a＜3π/4
∴3π/4＜a+(π/4)＜π
∴sin[a+(π/4)]＜(√2)/2
∴综上可知：
（√2)/4≤sin[a+(π/4)]＜(√2)/2.