Question

当X>0时，证明ln（1+x）<x

还有两题：
1.lim（1+2x）的x/1次方，lim下x趋向于0
2.lim根下n的平方-n再-n（n趋向于0）
请给出证明过程

Answer 1

当X>0时，证明ln（1+x）<x

证明: x=0时，x=ln（1+x）,
X>0时,1>1/(1+x)＞0;（x的导数灶竖培比ln（1+x）大，切一直都大于0）
所纤派以：ln（1+x）<x

lim（1+2x）的x/1次方，lim下x趋向于0
1/t=2x:则原式为lim（1+1/t）的t/2次方，lim下t趋向于无穷；所以答案是e的1/隐唯2次方；

lim根下n的平方-n再-n（n趋向于0） 看不懂

Answer 2

设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）源宽+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时毁乎，纤裂悉ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x

Answer 3

第一题用公式：原式=e的平方

Answer 4

当X>0时，证明ln（1+x）
0时,1>1/(1+x)＞0;（x的导数比ln（1+x）大，切一直戚誉都大于0）
所仔仔尘以：ln（1+x）
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Answer 5

先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<岁笑1
所以ln(1+x)
0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，烂雀大
[1/饥竖(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以
x/(1+x)
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